2022年北京师范大学使用数学考研参阅书目/考试大纲

考试类别：

①101思维政打点论

②201英语一

③714数学分析

④812专业归纳

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参阅书目:

714数学分析

1．数学分析第二版上、下,陈纪修等,高级教育出书社,2004.

2．简明数学分析第二版,郇中丹等,高级教育出书社，2009.

3．数学分析第3版(1-3册),郑学安等编著,北京师范大学出书社,2010。

812专业归纳

1.《代数学基础》(上)，张英伯，王恺顺，北京师范大学出书社；

2.《高级代数学》第三版，姚慕生，吴泉流，谢启鸿。

812专业归纳

1.《代数学基础》(上)，张英伯，王恺顺，北京师范大学出书社；

2.《高级代数学》第三版，姚慕生，吴泉流，谢启鸿。

1.空间解析几许（第四版），高红铸，王敬庚，傅若男，北京师范大学出书社

2.解析几许，尤承业，北京大学出书社

3.解析几许（第三版），丘维声，北京大学出书社

812专业归纳硕士研讨生招生考试大纲

高级代数（分值：85）

一、全体需求

1．掌控根柢的代数运算办法,包括：部队式的核算，矩阵运算（乘法、求秩、区别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量），线性方程组解的断定及求解，多项式运算（带余除法，曲折相除法）.

2.掌控根柢的代数分析技巧，包括：向量的线性有关和线性无关性，向量空间的基与维数，线性方程组解的规划,线性改换和矩阵的联络，方阵可类似对角化的断定,对称矩阵与二次型，多项式的整除性及因式分化.

3.掌控代数的根柢几许背就连了解代数与几许的联络，包括：欧氏空间与酉空间，正交改换与正交矩阵,酉改换与酉矩阵，对称改换与对称矩阵,实对称矩阵的正交类似对角化，最小二乘解，对偶空间与双线性函数.

二、考试内容

第一有些多项式

1.数域,一元多项式的界说和根柢运算；

2.多项式的带余除法，多项式整除性理论；

3.多项式的最大公因式，曲折相除法；

4.不可以约多项式，多项式的仅有因式分化定理，多项式的重因式；

5.多项式函数与多项式的根；

6.代数根柢定理，复数域和实数域上多项式；

7.有理数域和整数环上的多项式，eisenstein区别法；

8.多元多项式的概念及字典摆放法，对称多项式及其根柢定理.

第二有些部队式

1.摆放、n阶部队式的界说；

2.n阶部队式的性质和根柢核算；

3.代数余子式、部队式按一行（列）打开；

4.克莱姆规则；

5.laplace定理.

第三有些线性方程组

1.线性方程组求解的消元法；

2.矩阵的秩，用矩阵的初等改换求秩；

3.线性方程组可解的区别法；

4.两个多项式的结式和多项式的区别式.

第四有些矩阵

1.矩阵的线性运算、乘法及转置；

2.矩阵可逆的断定条件及性质，用初等改换求可逆矩阵的逆；

3.矩阵乘积的部队式与秩；

4.矩阵的分块及其运算技巧.

第五有些向量空间

1.向量空间的界说和比方；

2.向量组的线性有关和线性无关性，向量组的极大无关组；

3.向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标改换公式；

4.子空间、子空间的交与和；

5.向量空间的同构及其性质；

6.矩阵的行秩和列秩，齐次线性方程组的解空间与基础解系.

第六有些线性改换

1.线性映射和线性改换的界说及比方；

2.线性改换的运算和矩阵的联络；

3.线性改换的不变子空间及其性质；

4.方阵的特征值和特征向量；

5.可以对角化的矩阵；

6.极小多项式与cayley-hamilton定理;

7.向量空间的准素分化，矩阵的jordan标准形；

8.矩阵的有理标准形.

第七有些欧氏空间和酉空间

1.向量的内积和欧氏空间的界说；

2.标准正交基，schmidt正交化办法；

3.正交改换与正交矩阵；

4.对称改换与对称矩阵，实对称矩阵的正交类似对角化；

5.向量到子空间的间隔，最小二乘解；

6.酉空间与酉改换.

第8有些二次型

1.二次型与对称矩阵，矩阵的合同联络；

2.复数域上的二次型及其榜样形；

3.实数域上的二次型，惯性规则；

4.正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的断定条件.

第九有些双线性函数

1.线性函数与对偶空间；

2.双线性函数及其衡量矩阵；

3.对称双线性函数，对立称双线性函数.

空间解析几许（分值：65分）

参阅书：

1.空间解析几许（第四版），高红铸，王敬庚，傅若男，北京师范大学出书社

2.解析几许，尤承业，北京大学出书社

3.解析几许（第三版），丘维声，北京大学出书社

一、向量代数

考试内容

向量及其线性运算，向量的内积、外积、混合积、两层外积。

考试需求

1、熟练进行向量的线性运算，会用线性运算处置共线、共面疑问，掌控定比分点的公式和使用。

2、使用内积处置长度、夹角、笔直等有关疑问。

3、使用外积处置面积、夹角、平行等有关疑问。

4、使用混合积处置体积、共面等有关疑问。

二、平面与直线

考试内容

坐标系与坐标系中的向量运算，空间中的平面方程，空间中的直线方程，平面与直线的有关疑问，间隔。

考试需求

1、在直角坐标系和仿射坐标系中熟练进行向量的线性运算，在右手直角坐标系中熟练进行向量的内积、外积、混合积等运算，掌控坐标系中心隔、夹角、定比分点等的核算和使用。

2、掌控空间中平面的点法度方程、三点式方程、截距式方程，判别两平面的方位联络，会求两平面的夹角。

3、掌控空间中直线的点向式方程、两点式方程、参数方程和一般式方程，会求两条直线的夹角。

4、会判别平面与直线的方位联络，判别两条直线是不是共面。

5、会计算点到平面的间隔、点到直线的间隔、异面直线的间隔，会求异面直线的公垂线方程。

三、特别曲面和二次曲面

考试内容

球面、圆柱面和圆锥面方程，柱面、锥面及旋转面方程，空间曲线和曲面的参数方程，二次曲面，单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性。

考试需求

1、掌控球面、圆柱面和圆锥面方程的求法。

2、掌控柱面、锥面及旋转面方程的特征。特别是直母线是坐标轴时柱面的特征、极点是坐标原点时锥面的特征、旋转轴是坐标轴时旋转面方程的特征。

3、晓得代表性空间曲线（如直线、圆周、圆柱螺线等）的参数方程，代表性空间曲面（如平面、球面、旋转面等）的参数方程，晓得球面坐标、柱面坐标和直角坐标的联络。

4、晓得各种二次曲面的类型和标准方程，会判别一个二次方程代表哪品种型的二次曲面。

5、能写出单叶双曲面和双曲抛物面的直母线方程。

四、坐标改换与一般二次曲线（面）的谈论

考试内容

坐标改换，一般二次曲线方程和二次曲面方程的化简，二次曲线的不变量及类型区别，二次曲线的切线、法线和对称性。

考试需求

1、了解坐标改换的过渡矩阵的性质，掌控坐标改换公式及其使用。

2、掌控用坐标改换化简二次曲线方程和二次曲面方程的一般办法。

3、掌控用不变量判别二次曲线类型的办法以及用不变量给出标准方程的办法。

4.、会求二次曲线的切线、法线和对称轴、对称中心。

714数学分析：

北京师范大学硕士研讨生入学考试数学分析大纲

一、实数集与函数

考试内容：实数概念及性质，确界原理，闭区间套定理，函数的概念及标明法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，根柢初等函数的性质及其图形，初等函数，函数联络的树立.

考试需求：

1．了解实数概念,掌控实数的小数标明及性质.

2．掌控确界概念并会使用确界原理.

3．掌控闭区间套概念并会使用闭区间套定理.

4．了解函数的概念,掌控函数的标明法,会树立使用疑问的函数联络.

5．掌控函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

6．掌控复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念．

7．掌控根柢初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.

二、数列与一元函数的极限

考试内容：数列极限和函数极限（简称极限）的界说，数列的上、下极限，函数的单侧极限(自变量趋于单点时函数的左极限与右极限，自变量趋于正或负无限大时函数的极限)，函数的单侧上、下极限，无量小量和无量许多的概念及其联络，无量小量的性质及无量小量的比照，极限的性质，极限存在的两个区别原则:柯西(cauchy)原则和单调有界原则,两个重要极限，细密性定理，聚点定理，数列极限的施托尔茨(stolz)定理，函数极限的海涅(heine)定理，开集、闭集和紧集，有限掩盖定理.

考试需求：

1．掌控极限的概念(包括某一极限进程中数列或函数的收敛与发散)，了解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的联络．

2．掌控极限的性质(有界性、仅有性、保号性、算术性质、保序性、夹逼性质等).

3．掌控极限存在的柯西原则，并会使用它判别极限的存在与否.

4．掌控极限存在的单调有界原则，可以用其判别数列收敛或在某一极限进程中函数收敛，并在可以的情况下求出极限.

5．掌控细密性定理(有界数列必有收敛子列)，聚点定理(有界无量点集至稀有一个聚点).

6．掌控使用两个重要极限求极限的办法，会用施托尔茨定理求极限．

7．掌控无量小量、无量许多的概念，掌控无量小量的比照办法，会用等价无量小量求极限．

8．掌控函数接连性的概念(含左接连与右接连)，会区别函数接连点的类型．

9．掌控海涅定理并会使用它判别极限的存在与否.

10．了解开集、闭集的概念和性质，掌控紧集与开掩盖的概念、有限掩盖定理.

三、一元函数的接连

考试内容：函数接连的概念和性质，函数接连点的类型，初等函数的接连性，闭区间上接连函数的性质.

考试需求：

1．了解接连函数的概念、性质和初等函数的接连性,掌控闭区间上接连函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等),并会使用这些性质．

2．了解接连函数的共同接连性概念,掌控有界闭区间上的海涅-康托尔(heine-cantor)共同接连定理.

四、一元函数微分学

考试内容：导数和微分的概念和联络，导数的几许意义和物理意义，微分的几许意义，函数的可挡笤与接连性之间的联络，平面曲线的切线和法线，导数和微分的四则运算，根柢初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所断定的函数的微分法，高阶导数，莱布尼兹求导公式，一阶微分方法的不变性，微分中值定理，泰勒(taylor)公式，洛必达(l’hospital)规则，函数单调性的区别，函数的极值，函数的最大值和最小值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，插值多项式和方程近似求根.

考试需求：

1．了解导数和微分的概念，了解导数与微分的联络，了解导数的几许意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，晓得导数的物理意义，会用导数描绘一些物理量，了解函数的可挡笤与接连性之间的联络．

2．掌控导数的四则运算规则、复合函数的求导规则，掌控根柢初等函数的导数公式．晓得微分的四则运算规则和一阶微分方法的不变性，会求函数的微分．

3．了解高阶导数的概念、莱布尼兹求导公式，会求一些简略函数的高阶导数．

4．会求分段函数的导数，会求隐函数及反函数的导数.

5．掌控罗尔(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理、柯西(cauchy)中值定理、达布导函数介值定理和泰勒(taylor)定理(带几种余项的)．

6．掌控洛必达规则以及用洛必达规则求不决式极限的办法．

7．了解函数的极值概念，掌控用导数判别函数的单调性和求函数极值的办法，掌控函数最大值和最小值的求法及其使用．

8．会用导数判别函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以?健⑶χ焙托苯ソ撸崦杌婧耐夹危?br>

9．了解插值多项式和方程近似求根．

五、一元函数积分学

考试内容：原函数和不定积分的概念，不定积分的根柢性质，根柢函数的积分公式,定积分(指黎曼积分)的概念和根柢性质，定积分中值定理，积分上、下限函数及其导数，黎曼可积的区别原则，牛顿一莱布尼茨(newton-leibniz)公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简略无理函数的积分，异常(广义)积分，定积分的使用.

考试需求：

1．了解原函数的概念，掌控不定积分和定积分的概念．掌控函数是黎曼可积的必要条件，掌控函数黎曼可积的区别原则.

2．掌控不定积分的根柢公式，掌控不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌控换元积分法与分部积分法．

3．掌控有理函数、三角函数有理式和简略无理函数的积分．

4．了解积分变上限的函数，会求它的导数，掌控牛顿－莱布尼茨公式．了解定积分的近似核算.

5．了解异常积分的概念和性质，掌控判别广义积分收敛与否的办法，会计算一些简略的广义积分．

6．掌控用定积分表达和核算一些几许量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及旁边面积、平行截面面积为已知的立体体积,及功、引力、压力、质心、形心等)及函数的均匀值．

六、无量级数

考试内容:（一）常数项级数：收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的根柢性质与收敛的必要条件，几许级数与，p级数及其收敛性，正项级数收敛性的区别法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的必定收敛与条件收敛.（二）函数项级数：收敛域、和函数、共同收敛概念，函数项级数的共同收敛区别法、和函数的分析性质(接连性、可微性和可积性；逐项求极限、求微分和逐项求积分),（三）幂级数：幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的根柢性质，简略幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数打开式.（四）三角级数与函数的傅里叶（fourier）级数：2л-周期函数的傅里叶系数与傅里叶级数，黎曼引理，贝塞尔不等式，傅里叶级数收敛的狄尼(dini)区别法、狄利克雷(dirichlet)区别法，傅里叶级数的收敛定理，2l(l>0)-周期函数函数的傅里叶级数，正弦级数和余弦级数.

考试需求：

1．了解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌控级数的根柢性质及收敛的必要条件.

2．掌控几许级数与\,$p$级数的收敛与发散的条件.

3．掌控正项级数收敛性的柯西区别原则、比照区别法、比值区别法、根值区别法、拉比(raabe)区别法、积分区别法等.

4．掌控交错级数的莱布尼茨区别法.

5．掌控任意项级数必定收敛与条件收敛的概念、必定收敛与收敛的联络和必定收敛级数的乘积.

6．掌控狄利克雷区别法和阿贝尔区别法.

7．了解函数项级数的收敛域、和函数的概念及性质.

8．掌控区别函数列及函数项级数共同收敛与否的办法(柯西原则、优级数区别法、狄利克雷区别法、阿贝尔区别法和迪尼区别法等)，掌控函数项级数的和函数的分析性质.

9．了解幂级数收敛半径的概念、并掌控幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.

10．了解幂级数在其收敛区间内的根柢性质(和函数的接连性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

11．了解函数打开为泰勒级数的充分必要条件.

12．掌控几个根柢初等函数ex,ln(1+x),sinx,cosx,(1+x)α的麦克劳林(maclaurin)打开式，会用它们将一些简略函数直接打开成幂级数.

13．了解正交函数系、傅里叶系数及傅里叶级数的概念.掌控黎曼引理，部分化定理，贝塞尔不等式.掌控傅里叶级数的狄尼(dini)区别法、狄利克雷区别法及收敛定理.

14.会将界说在闭区间[-l,l)上的黎曼可积函数延拓成周期为2l的函数并打开其傅里叶级数，会将界说在[0,l)上的函数打开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.

七、多元函数微分学

考试内容：多元函数的概念，二元函数的几许意义，多元函数的极限与接连的概念，多元函数极限存在与否的判别，二元函数的累次极限，有界闭区域上多元接连函数的性质，多元函数的偏导数和全微分、二阶甚至更高阶偏导数，全微分存在的必要条件和充分条件，隐函数存在定理，反函数存在定理，多元复合函数、隐函数的求导法、二阶导数，方导游数和梯度，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简略使用.

考试需求：

1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几许意义.

2．了解多元函数的极限与接连的概念以及有界闭区域上接连函数的性质.

3．了解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分方法的不变性.

4．了解方导游数与梯度的概念，并掌控其核算办法.

5．掌控多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，以及一些简略函数的高阶偏导数的求法.

6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的一阶、二阶偏导数以及一些简略函数的高阶偏导数.

7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.

8．了解多元函数的泰勒公式.

9．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌控多元函数极值存在的必要条件，了解多元函数极值存在的充分条件，会求简略的多元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简略多元函数的最大值和最小值，并会处置一些简略的使用疑问.

8、含参变量的广义积分

考试内容：含参变量的广义积分的概念，含参变量的广义积分共同收敛的概念，含参变量的广义积分的分析性质，一些含参变量的广义积分的核算.伽玛(gamma)函数,贝塔(beta)函数.

考试需求：

1．掌控常义含参变积分的概念、根柢性质和定理.

2．了解含参变量广义积分收敛、共同收敛的概念，掌控含参量广义积分的魏尔斯特拉斯区别法、柯西原则、阿贝尔区别法、狄利克雷区别法及迪尼区别法.

3．掌控含参变量的广义积分的分析性质(接连性、可微性和可积性)的定理.

4．掌控一些广义积分及含参量广义积分的核算.了解含参量广义积分概念和函数项级数概念之间的联络.

5．了解伽玛函数、贝塔函数及其性质和联络,了解斯特林公式.

九、多元函数积分学

考试内容：二重积分与三重积分的概念、性质、核算和使用,两类曲线积分的概念、性质及核算，两类曲线积分的联络，格林（green）公式,平面曲线积分与途径无关的条件，二元函数全微分的原函数，两类曲面积分的概念、性质及核算，两类曲面积分的联络，高斯（gauss）公式,斯托克斯（stokes)公式,散度、旋度的概念及核算,曲线积分和曲面积分的使用.

考试需求：

1．了解重积分的概念、性质.

2．掌控二、三重积分的核算办法，特别是积分改换（直角坐标、极坐标、柱面坐标、球面坐标以及其他简略的改换）,会计算一些简略的重数高于三的重积分.

3．掌控两类曲线积分的概念、性质及两类曲线积分之间的联络.

4．掌控核算两类曲线积分的办法.

5．掌控格林公式并会运用平面曲线积分与途径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.掌控斯托克斯公式并会运用其核算曲线积分,会运用曲线积分与途径无关的条件求三元

函数全微分的原函数.

6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的联络，掌控核算两类曲面积分的办法，掌控高斯公式并会运用其核算曲面积分的办法.

7．了闭幕度与旋度的概念，并会计算.

8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几许量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、滚动惯量、引力、功及流量等）.回来搜狐，查看更多

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